Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與兩坐標(biāo)軸分別交于點A、B、C，直線y＝﹣x+4經(jīng)過點B，與y軸交點為D，M（3，﹣4）是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）已知點N在對稱軸上，且AN+DN的值最小．求點N的坐標(biāo)．

（3）在（2）的條件下，若點E與點C關(guān)于對稱軸對稱，請你畫出△EMN并求它的面積．

（4）在（2）的條件下，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使以A、B、N、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（2）N(3，)；（3）畫圖見解析，S△EMN＝；（4）存在，滿足條件的點P的坐標(biāo)為（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．

【解析】

（1）先確定出點B坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先判斷出點N是直線BC與對稱軸的交點，即可得出結(jié)論；（3）先求出點E坐標(biāo)，最后用三角形面積公式計算即可得出結(jié)論；（4）設(shè)出點P坐標(biāo)，分三種情況利用用平行四邊形的兩條對角線互相平分和中點坐標(biāo)公式求解即可得出結(jié)論．

解：（1）針對于直線y＝﹣x+4，

令y＝0，則0＝﹣x+4，

∴x＝5，

∴B（5，0），

∵M（3，﹣4）是拋物線的頂點，

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2﹣4，

∵點B（5，0）在拋物線上，

∴a（5﹣3）2﹣4＝0，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為x＝3，

∵點A，B關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

∴直線y＝﹣x+4與對稱軸x＝3的交點就是滿足條件的點N，

∴當(dāng)x＝3時，y＝﹣×3+4＝，

∴N（3，）；

（3）∵點C是拋物線y＝x2﹣6x+5與y軸的交點，

∴C（0，5），

∵點E與點C關(guān)于對稱軸x＝3對稱，

∴E（6，5），

由（2）知，N（3，），

∵M（3，﹣4），

∴MN＝﹣（﹣4）＝，

∴S△EMN＝MN|xE﹣xM|＝××3＝；

（4）設(shè)P（m，n），

∵A（1，0），B（5，0），N（3，），

當(dāng)AB為對角線時，AB與NP互相平分，

∴（1+5）＝（3+m），（0+0）＝（+n），

∴m＝3，n＝﹣，

∴P（3，﹣）；

當(dāng)BN為對角線時，（1+m）＝（（3+5），（0+n）＝（0+），

∴m＝7，n＝，

∴P（7，）；

當(dāng)AN為對角線時，（1+3）＝（5+m），（0+）＝（0+n），

∴m＝﹣1，n＝，

∴P（﹣1，），

即：滿足條件的點P的坐標(biāo)為（3，﹣）或（7，）或（﹣1，）．