Question

【題目】如圖，已知一次函數與正比例函數的圖象交于點，且與軸交于點．

(1)直接寫出點的坐標為 ；點的坐標為 ；

(2)過點作軸于點，過點作直線l∥y軸．動點從點出發，以每秒個單位長的速度，沿的路線向點運動；同時直線從點出發，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線交軸于點，交線段或線段于點．當點到達點時，點和直線都停止運動．在運動過程中，設動點運動的時間為秒．

當為何值時，以、、為頂點的三角形的面積為；

是否存在以、、為頂點的三角形是等腰三角形?若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)①當時，以、、為頂點的三角形的面積為；②或或或時，是等腰三角形.

【解析】

（1）根據圖象與坐標軸交點求法直接得出即可，再利用直線交點坐標求法將兩直線解析式聯立即可得出交點坐標；

（2）①利用S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB＝8，表示出各部分的邊長，整理出一元二次方程，求出即可；

②根據一次函數與坐標軸的交點得出，∠OBN＝∠ONB＝45°，進而利用勾股定理以及等腰三角形的性質和直角三角形的判定求出即可．

（1）∵一次函數y＝﹣x+7與正比例函數yx的圖象交于點A，且與x軸交于點B，

∴，解得：，

∴A點坐標為：（3，4）；

∵y＝﹣x+7＝0，解得：x＝7，

∴B點坐標為：（7，0）．

（2）①當P在OC上運動時，0≤t＜4時，PO＝t，PC＝4﹣t，BR＝t，OR＝7﹣t．

∵當以A、P、R為頂點的三角形的面積為8，

∴S梯形ACOB﹣S△ACP﹣S△POR﹣S△ARB＝8，

∴（AC+BO）×COAC×CPPO×ROAM×BR＝8，

∴（AC+BO）×CO﹣AC×CP﹣PO×RO﹣AM×BR＝16，

∴（3+7）×4﹣3×（4﹣t）﹣t×（7﹣t）﹣4t＝16，

∴t2﹣8t+12＝0，解得：t1＝2，t2＝6（舍去）；

當t＝4時，A，P，R三點可以構成三角形，此時面積是6，不合題意；

當4＜t＜7時，S△APRAP×OC＝2（7﹣t）＝8，解得：t＝3，不符合4＜t＜7；

綜上所述：當t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8；

②存在．延長CA到直線l交于一點D，當l與AB相交于Q．

∵一次函數y＝﹣x+7與x軸交于（7，0）點，與y軸交于（0，7）點，

∴NO＝OB，

∴∠OBN＝∠ONB＝45°．

∵直線l∥y軸，

∴RQ＝RB，CD⊥L，

當0≤t＜4時，如圖1，RB＝OP＝QR＝t，DQ＝AD＝（4﹣t），AC＝3，PC＝4﹣t．

∵以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則AP＝AQ，

∴AC2+PC2＝AP2＝AQ2＝（AD）2，

∴9+（4﹣t）2＝2（4﹣t）2，解得：t1＝1，t2＝7（舍去），

當AP＝PQ時 32+（4﹣t）2＝（7﹣t）2，解得：t＝4 （舍去）．

當PQ＝AQ時，2（4﹣t）2＝（7﹣t）2，解得：t1＝1+3（舍去），t2＝1﹣3（舍去），當t＝4時，無法構成三角形；

當4＜t＜7時，如圖（備用圖），過A作AD⊥OB于D，則AD＝BD＝4，設直線l交AC于E，則QE⊥AC，AE＝RD＝t﹣4，AP＝7﹣t，由cos∠OAC，得：AQ（t﹣4），若AQ＝AP，則（t﹣4）＝7﹣t，解得：t；

當AQ＝PQ時，AE＝PE，即AEAP，得：t﹣4（7﹣t），解得：t＝5；

當AP＝PQ時，過P作PF⊥AQ于F，AFAQ（t﹣4）．

在Rt△APF中，由cos∠PAF，得：AFAP，即（t﹣4）（7﹣t），解得：t．

綜上所述：當t＝1、5、、秒時，存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．