Question

【題目】如圖，在菱形中，，點將對角線三等分，且，連接.

（1）求證：四邊形為菱形

（2）求菱形的面積；

（3）若是菱形的邊上的點，則滿足的點的個數是______個.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）8

【解析】

（1）根據題意證明△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB，得到四邊相等即可證明是菱形；

（2）求出菱形的對角線的長，利用菱形的面積等于對角線乘積的一半解決問題即可．

（3）不妨假設點P在線段AD上，作點E關于AD的對稱點E′，連接FE′交AD于點P，此時PE＋PF的值最小．求出PE＋PF的最值，判斷出在線段AD上存在兩個點P滿足條件，由此即可判斷．

（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD≡AB=CD=CB，∠DAE=∠BAE=∠DCF=∠BCF，

∴△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB（SAS）

∴DE=BE=DF=BF,

∴四邊形DEBF為菱形.

（2）連接DB，交AC于O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴DB⊥AC，，

又∵AE=EF=FC=2，

∴AO=3，AD=2DO，

∴，∴，

∴

（3）不妨假設點P在線段AD上，作點E關于AD的對稱點E′，連接FE′交AD于點P，此時PE＋PF的值最小．

易知PE＋PF的最小值＝2

當點P由A運動到D時，PE＋PF的值由最大值6減小到2再增加到4，

∵PE＋PE＝，2＜＜4，

∴線段AD上存在兩個點P，滿足PE＋PF＝

∴根據對稱性可知：菱形ABCD的邊上的存在8個點P滿足條件．

故答案為8．