Question

【題目】如圖，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x－2）2＋k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，并與x軸交于另一點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P．

（1）求a，k的值；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使△ABM的周長(zhǎng)最小，若存在，求出△ABM的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若以AB為直徑畫圓，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，求出點(diǎn)N坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a，k的值分別為1，﹣1；（2），理由見解析；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）或（2，1）

【解析】（1）由條件可先求得A、B坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得a、k的值；
（2）由A、C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，則M即為所求，由B、C可求得直線BC的解析式，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，容易求得其周長(zhǎng)；
（3）可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n），可分別表示出AB、AN、BN的長(zhǎng)，由勾股定理可得到關(guān)于n的方程，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵直線y=﹣3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，

∴A（1，0），B（0，3）．

又∵拋物線拋物線y=a（x﹣2）2+k經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（0，3），

∴

解得

故a，k的值分別為1，﹣1；

（2）如圖1，存在這樣的點(diǎn)M.連接BC與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，這時(shí)△ABM的周長(zhǎng)最小.

由拋物線對(duì)稱性可得，點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），

△ABM的周長(zhǎng)＝AB+AM+BM

＝AB+BC

＝；

（3）如圖2，由題意，可設(shè)N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，n），對(duì)稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直于直線x=2于點(diǎn)E．

∵AB為所作圓的直徑，N為所作圓與直線x=2的交點(diǎn)，

∴∠ANB=90°.

在Rt△ANF中，AN2=AF2+NF2=1+n2，

在Rt△BNE中，BN2=BE2+EN2=4+（3﹣n）2，

由勾股定理，得到方程1+n2+4+（3﹣n）2=12+32，

化簡(jiǎn)，得n2﹣3n +2=0，

解得 n1=2，n2=1，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）或（2，1）．