Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，P為三角形內一點，過P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，連結AP、BP、CP，如果S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝，那么△ABC的內切圓半徑為___

Answer 1

【答案】

【解析】

過P點作正△ABC的三邊的平行線，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四邊形ASPM，四邊形NCOP，四邊形PQBR是平行四邊形，則可得黑色部分的面積=白色部分的面積，進而求出三角形ABC的面積，然后求出等邊三角形的邊長和高，再根據等邊三角形的內切圓的半徑等于高的三分之一即可求出半徑的長度．

如圖，過P點作正△ABC的三邊的平行線，

則△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，

四邊形ASPM，四邊形NCOP，四邊形PQBR是平行四邊形，
故可知黑色部分的面積=白色部分的面積，
∵S△APF＋S△BPE＋S△PCD＝，

∴S△ABC=，
∵S△ABC=AB2sin60°=，
∴AB=6，

∴三角形ABC的高h=3，
則△ABC的內切圓半徑r=h=．

故答案為：.