Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題:如圖 1,在四邊形 ABCD 中,E 是 BC 的中點,AE 是∠BAD 的平分線,AB∥DC，求證:AD=AB+DC. 小明發(fā)現(xiàn)以下兩種方法:

方法 1:如圖 2,延長 AE、DC 交于點 F；

方法 2:如圖 3,在 AD 上取一點 G 使 AG=AB,連接 EG、CG.

(1)根據閱讀材料,任選一種方法,證明：AD=AB+DC； 用學過的知識或參考小明的方法,解決下面的問題:

(2)如圖 4,在四邊形 ABCD 中,AE 是∠BAD 的平分線,E 是 BC 的中點,∠BAD=60°,∠ABC=180°- ∠BCD，求證:CD=CE.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）方法1：如圖2，延長AE、DC交于點F，證明△ABE≌△FCE（ASA）即可解決問題

方法2：如圖3，在AD上取一點G使AG=AB，連接EG、CG．想辦法證明DC=DG即可解決問題；

（2）如圖4中，作CM∥AB交AE的延長線于M，CM交AD于N，連接EN．只要證明△CNE≌△CND（ASA）即可解決問題；

（1）方法1：如圖2，延長AE、DC交于點F；

∵AB∥DF，

∴∠B=∠ECF，

∵BE=EC，∠BEA=∠CEF，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB=CF，

∵EA平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAF=∠F，

∴AD=DF，

∴AD=CD+AB．

方法2：如圖3，在AD上取一點G使AG=AB，連接EG、CG．

∵AB=AG，∠BAE=∠GAE，AE=AE，

∴△BAE≌△GAE（SAS），

∴BE=EG=EC，∠AEB=∠AEG，

∴∠EGC=∠ECG，

∵∠BEG=∠EGC+∠ECG，

∴∠BEA=∠ECG，

∴AE∥CG，

∴∠EAG=∠CGD，

∵AB∥CD，AE∥CG，

∴∠BAE=∠DCG，

∴∠DCG=∠DGC，

∴CD=DG，

∴AD=AB+CD．

（2）證明：如圖4中，作CM∥AB交AE的延長線于M，CM交AD于N，連接EN．

由（1）可知：AN=NM，AE=EM，

∴EN平分∠ANM，

∵∠BAD=60°，MN∥AB，

∴∠MND=∠BAD=60°，

∴∠ENM=∠ENA=60°，

∴∠CND=∠CNE，

∵∠B+∠ECN=180°，∠ABC=180°-∠BCD，

∴∠NCE=∠NCD，∵CN=CN，

∴△CNE≌△CND（ASA），

∴CE=CD．