Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經過點A(﹣2，0)、B(0、﹣4)與x軸交于另一點C，連接BC．

（1）求拋物線的解析式．

（2）如圖，P是第一象限內拋物線上一點，且，求P點坐標．

（3）在拋物線上是否存在點D，直線BD交x軸于點E，使ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）P (6，8)；（3）存在，D (8，20)或

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）令y=0求拋物線與x軸的交點C的坐標，作△POB和△PBC的高線，根據面積相等可得OG=CF，證明△OEG≌△CEF，得OE=CE，即得到點E的坐標為（2，0），利用待定系數法求得直線PB的解析式，解方程組即可求得P點坐標；

（3）先利用概率的知識分析A，B，C，E中的三點為頂點的三角形，有兩個三角形與△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，
①當△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，根據存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐標，利用待定系數法求直線BE的解析式，與拋物線列方程組可得交點D的坐標；
②當△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，同理可得結論．

（1）把點A（-2，0），B（0、-4）代入拋物線得：

，
解得：，
∴拋物線的解析式為；

（2）當時，，
解得：或4，
∴點C的坐標為（4，0），

如圖1，過O作OG⊥BP于G，過C作CF⊥BP于F，PB交軸于點E，

∵S△PBO=S△PBC，

∴BPOG=BPCF，
∴OG=CF，
∵∠OEG=∠CEF，∠OGE∠CFE，
∴△OEG≌△CEF（AAS），
∴OE=CE，
點E的坐標為（2，0），

設直線PB的解析式為，

把點E（2，0）代入得，

解得：，

∴直線PB的解析式為，

解方程組得：(舍去)或，

∴點P的坐標為（6，8）；

（3）以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四種，其中△ABE重合，不符合條件，△ACE不能構成三角形，
∴當△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似，存在兩個三角形：△ABC和△BCE，
①當△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，

（3）以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四種，其中△ABE重合，不符合條件，△ACE不能構成三角形，
∴當△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似，存在兩個三角形：△ABC和△BCE，
①當△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，

由（1）得：點A（-2，0），B（0，-4），C（4，0），

∴OB=OC=4，

，

，

∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，
∴∠ABE=∠ACB=45°，
∴△ABE∽△ACB，
∴，

∴，

解得：，，

點的坐標為（，0）；

設直線BE的解析式為，

把點E（，0）代入得，，

∴直線BE的解析式為，

解方程組得：(舍去)或，

∴點D的坐標為（8，20）；

②當△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，此時E在C的左邊，

∵∠BEA=∠BEC，
∴當∠ABE=∠BCE時，△ABE∽△BCE，

∴，

設，，

Rt△BOE中，由勾股定理得：，
∴，

即，即，

∴，，

∴或，

∵，∠AEB或∠BEC是鈍角，如圖4，此時△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，

∴E（-12，0）；
同理得BE的解析式為：，

解方程組得：(舍去)或，

∴點D的坐標為（，）；

同理可得E在C的右邊時，△ABE∽△BCE，

∴，

設，，

Rt△BOE中，由勾股定理得：，
∴，

即，即，

∴，，

∴(舍去)或，

∵，∠BEC是鈍角，此時△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，
綜上，點D的坐標為（8，20）或（，）．