Question

【題目】如圖，已知：拋物線交x軸于A，C兩點，交y軸于點B，且OB=2CO.

(1)求二次函數解析式；

(2)在二次函數圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；

(3) 拋物線對稱軸上是否存在點P，使得△ABP為直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y；（2）；（3）（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）

【解析】

（1）利用待定系數法求出A、B、C的坐標，然后把B點坐標代入，求出a 的值，并化簡二次函數式即可；

（2）設點M的坐標為（m，），則點N的坐標為（2-m），可得， GM=，利用矩形MNHG的周長=2MN+2GM，化簡可得，即當時，C有最大值，最大值為，

（3）分三種情況討論：①點P在AB的下方，②點P在AB的上方，③以AB為直徑作圓與對稱軸交，分別討論得出結果即可.

（1）對于拋物線y=a（x+1）（x-3），

令y=0，得到a（x+1）（x-3）=0，

解得x=-1或3，

∴C（-1，0），A（3，0），

∴OC=1，

∵OB=2OC=2，

∴B（0，2），

把B（0，2）代入y=a（x+1）（x-3）中得：2=-3a，a=-

∴二次函數解析式為

（2）設點M的坐標為（m，），

則點N的坐標為（2-m，），

， GM=

矩形MNHG的周長 C=2MN+2GM

=2（2m-2）+2（）

=

=

∴當時，C有最大值，最大值為，

（3）∵A（3，0），B（0，2），
∴OA=3，OB=2，
由對稱得：拋物線的對稱軸是：x=1，
∴AE=3-1=2，
設拋物線的對稱軸與x軸相交于點E，當△ABP為直角三角形時，存在以下三種情況：

①如圖1，

當∠BAP=90°時，點P在AB的下方，
∵∠PAE+∠BAO=∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠PAE=∠ABO，
∵∠AOB=∠AEP，
∴△ABO∽△PAE，
∴ ，即，

∴PE=3，
∴P（1，-3）；
②如圖2，

當∠PBA=90°時，點P在AB的上方，過P作PF⊥y軸于F，
同理得：△PFB∽△BOA，

∴，即，

∴

∴，

∴P（1，）；

③如圖3，

以AB為直徑作圓與對稱軸交于P1、P2，則∠AP1B=∠AP2B=90°，
設P1（1，y），
∵AB2=22+32=13，
由勾股定理得：AB2=P1B2+P1A2，
∴，
解得：，

∴P（1，1+）或（1，1-）

綜上所述，點P的坐標為（1，-3）或（1，）或（1，1+）或（1，1-）