Question

【題目】如圖，、是以為直徑的半圓的兩條切線，與半圓交于點，連接，過點作，交于點.

(1)若弧AE的度數為140，求的度數;

(2)求證: .

Answer 1

【答案】（1）∠D=70°,

（2）見詳解.

【解析】

（1）連接OE,利用切線證明∠DBA=∠CAB=90°,根據已知得∠AOE=140°,在直角三角形ABD中即可解題；（2）利用同角的余角相等證明∠CEA=∠FEB, ∠CAE=∠EBA即可證明三角形相似.

解：（1）設圓的圓心為點O,連接OE（作圖略）,

∵、是以為直徑的半圓的兩條切線，

∴∠DBA=∠CAB=90°,

∵弧AE的度數為140，即∠AOE=140°,

∵OA=OE,

∴∠EAO=20°,

在直角三角形ABD中,∠D=70°,

（2）∵AB為直徑,

∴∠AEB=90°,（直徑所對圓周角是90°）

∵,

∴∠CEF=90°,

∴∠CEA=∠FEB（同角的余角相等）

又∵∠CAE+∠EAF=∠EBA+∠EAF

∴∠CAE=∠EBA（同角的余角相等）

∴(有兩個角對應相等的三角形是相似三角形)