Question

【題目】如圖，AB為△ABC外接圓⊙O的直徑，點P是線段CA延長線上一點，點E在圓上且滿足PE2=PAPC，連接CE，AE，OE，OE交CA于點D．

（1）求證：△PAE∽△PEC；

（2）求證：PE為⊙O的切線；

（3）若∠B=30°，，求證：DO=DP．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】

（1）利用兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似即可得證結論；

（2）連接BE，轉化出，又由相似得出，從而用直徑所對的圓周角是直角，轉化出即可；

（3）構造全等三角形，先找出與的關系，再用等積式找出與的關系，從而判斷出，得出即可．

解：（1）證明：∵

∴

∵

∴；

（2）連接BE，如圖：

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵為直徑

∴

∴

∵

∴

∵點在上

∴是的切線；

（3）過點作于，如圖：

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

∴

∵、

∴

∴．