Question

【題目】在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點的坐標為，動點沿邊從向以每秒的速度運動，同時動點沿邊從向以同樣的速度運動，連接、交于點.

（1）試探索線段、的關系，寫出你的結論并說明理由；

（2）連接、，分別取、、、的中點、、、，則四邊形是什么特殊平行四邊形？請在圖①中補全圖形，并說明理由.

（3）如圖②當點運動到中點時，點是直線上任意一點，點是平面內任意一點，是否存在點使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AF=DE，AF⊥DE，理由詳見解析；（2）四邊形HIJK為正方形，理由詳見解析；（3）N的坐標為（2，－1），（，），（，），（，）．

【解析】

（1）用SAS證明△DAE≌△AOF，根據全等三角形的性質得到DE=AF，∠ADE=∠OAF．根據等式的性質得到∠AGD=90°，從而得到AF⊥DE．

（2）根據三角形中位線定理得到IH=KJ=AF，IH∥KJ，得到四邊形HIJK為平行四邊形，同理IJ=DE，IJ∥DE，從而得到IJ=IH，IJ⊥IH，即可證明HIJK為正方形．

（3）要求O、C、M、N四點構成菱形，OC為唯一已知線段，對OC的角色進行討論：OC為對角線或OC為邊．

當OC為對角線時，此時MN也為對角線，MN垂直平分OC，則M為OC中垂線與直線EC交點，可得M1的坐標，由對稱可得此時N1的坐標．

當OC為邊時，考慮M的位置，M與O相鄰或者與C相鄰．

Ⅰ．若M與C相鄰，CM=CO=4，此時以C為圓心，OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M2和M3，過M2作M2P⊥OC于點P，得到OE∥PM2，即有△OEC∽△PM2C．根據相似三角形的對應邊成比例，即可求出PM2，PC的長，進而得到OP的長．由N2M2∥OC，N2M2=OC，即可得到N2的坐標，由N3和N2關于原點對稱，可得N3的坐標；

Ⅱ．若M與O相鄰，OM=OC=4此時以O為圓心，OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M4．求出直線EC的解析式，則可得出M4的坐標，由OM4=4，解方程即可得出M4的坐標，從而得出N4的坐標．

（1）AF=DE，AF⊥DE．理由如下：

∵E、F速度相等，∴AE=OF．

∵OADC是正方形，∴AD=OA，∠DAE=∠AOF=90°，∴△DAE≌△AOF（SAS），∴DE=AF，∠ADE=∠OAF．

∵∠OAF+∠DAF=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE，∴AF=DE，AF⊥DE．

（2）四邊形HIJK為正方形．理由如下：

由（1）知：AF=DE，AF⊥DE．

∵HI是△AEF的中位線、JK是△AFD的中位線，∴IH=AF，IH∥AF，KJ=AF，KJ∥AF，∴IH=KJ，IH∥KJ，∴四邊形HIJK為平行四邊形，同理IJ=DE，IJ∥DE．

∵AF=DE，AF⊥DE，∴IJ=IH，IJ⊥IH，∴四邊形HIJK為正方形．

（3）N的坐標為（2，－1），（，），（，），（，）．

要求O、C、M、N四點構成菱形，OC為唯一已知線段，對OC的角色進行討論：OC為對角線或OC為邊．

當OC為對角線時，此時MN也為對角線，MN垂直平分OC，則M為OC中垂線與直線EC交點，可得M1（2，1）由對稱可得此時N1（2，－1）．

②當OC為邊時，考慮M的位置，M與O相鄰或者與C相鄰．

Ⅰ．若M與C相鄰，CM=CO=4，此時以C為圓心，OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M2和M3，過M2作M2P⊥OC于點P，∴OE∥PM2，∴△OEC∽△PM2C．

∵OE=2，OC=4，∴EC=．

∵△OEC∽△PM2C，∴，∴，解得：PM2=，PC=，∴OP=OC－PC=．

∵N2M2∥OC，N2M2=OC，∴N2（，），易證N3和N2關于原點對稱，∴N3（，）．

Ⅱ．若M與O相鄰，OM=OC=4此時以O為圓心，OC長為半徑作圓與直線EC交點即為M4．

設直線EC為y=kx+b，∴，解得：，∴直線EC為．

設M4（x，），則，解得：，，∴M4（，），∴N4（，）．

綜上所述：N的坐標為（2，－1），（，），（，），（，）．