Question

【題目】如圖，二次函數（、為參數，其中）的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，頂點為．

（1）若，求的值（結果用含的式子表示）；

（2）若是等腰三角形，直線與軸交于點，且．求拋物線的解析式；

（3）如圖，已知，、分別是和上的動點，且，若以為直徑的圓經過點，并交軸于、兩點，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）tan∠CBA=－2a；（2）；（3）MN的最大值=

【解析】

（1）將代入函數解析式，求得B點坐標，在直角三角形BOC中，利用正切定義直接求得；

（2）利用對稱軸可知D的橫坐標，過D做DH⊥x軸，交x軸于點H，因為OP∥DH，利用平行線分線段成比例，求得A、B兩點坐標，代入解析式可得到，再對分情況討論即可；

（3）利用圓周角定理可知解得a，求得C點，同時由已知EF=3，可知取EF的中點Q，過Q做QH⊥X軸于點H，則Q在以C為圓心，為半徑的圓上運動，在Rt△QHN中，，求HN的最大值等價求QH的最小值，求得QH推得HN，進而得到MN.

（1）∵

∴

∴A（-2，0），B（5，0），C（-10a，0）

∴tan∠CBA=

（2）由已知

過D做DH⊥X軸，交X軸于點H

∵OP∥DH，AP：DP=2：3，

∴

∴OA=1，A（－1，0），B（4，0）

∴

∴

（3）∵A（－1，0），B（4，0）且以EF為直徑的圓經過點C

∴，解得

∴C（0.2）

∵

取EF的中點Q，過Q做QH⊥x軸于點H，則Q在以C為圓心，為半徑的圓上運動

∵MN=2HN

在Rt△QHN中，，求HN的最大值等價求QH的最小值

∵QH的最小值=

∴HN的最大值=

∴MN的最大值=