Question

【題目】已知：如圖，二次函數圖象的頂點坐標為C（1，﹣2），直線y=kx+m的圖象與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標為（3，0），B點在y軸上．點P為線段AB上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P且垂直于x軸的直線與這個二次函數的圖象交于點E．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）設點P的橫坐標為x，求線段PE的長（用含x 的代數式表示）；

（3）點D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，若以點P、E、D為頂點的三角形與△AOB相似，請求出P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣1）2﹣2；（2）PE=﹣x2+x；（3）P點坐標為（﹣1，）或（1+，﹣1）．

【解析】

(1)利用待定系數法求二次函數解析式.(2)先求出直線AB方程，再求出PE長.(3)利用相似的性質，列比例式，再代入，解方程，可求出P點坐標.

（1）設二次函數的解析式為y=a（x﹣1）2﹣2，

∵A（3，0）在拋物線上，

∴0=a（3﹣1）2﹣2

∴a=，

∴y=（x﹣1）2﹣2，

（2）拋物線與y軸交點B的坐標為（0，），

設直線AB的解析式為y=kx+m，

∴,

∴,

∴直線AB的解析式為y=.

∵P為線段AB上的一個動點，

∴P點坐標為（x， x﹣.）．（0＜x＜3）

由題意可知PE∥y軸，∴E點坐標為（x，x2﹣x﹣），

∵0＜x＜3，

∴PE=（.）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+.

（3）由題意可知D點橫坐標為x=1，又D點在直線AB上，

∴D點坐標（1，﹣1）．

當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP，

∴.

過點D作DQ⊥PE于Q，

∴xQ=xP=x，yQ=﹣1，

∴△DQP∽△AOB∽△EDP，

∴,

又OA=3，OB=，AB=,

又DQ=x﹣1，

∴DP=（x﹣1），

∴,

解得：x=﹣1±（負值舍去）．

∴P（﹣1，）（如圖中的P1點）；

②當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，

∴.

由（2）PE=﹣x2+.，DE=x﹣1，

∴

解得：x=1±，（負值舍去）．

∴P（1+，﹣1）（如圖中的P2點）；

綜上所述，P點坐標為（﹣1，）或（1+，﹣1）．