Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D.

（1）求出點A，C，D的坐標；

（2）如圖（1），在拋物線對稱軸上找一點E，使得△CBE的周長最小，求點E的坐標；

（3）如圖（2），作垂直x軸的直線，在第二象限交直線AC于點M，交拋物線于點N，求當MN有最大值時N點坐標？并求出MN最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）點A、C的坐標為（﹣3，0）、（0，3），頂點D（﹣1，4）；（2）點E（﹣1，2）；（3）MN有最大值，此時x＝﹣，故點N（﹣，）.

【解析】

（1）y=-x2-2x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=-3或1，即可求解；

（2）作點C關于函數對稱軸的對稱點F，連接FB，交拋物線的對稱軸于點E，點E為所求點，此時△CBE的周長=BC+EC+EB=BC+BE+EF=FB+BC，即可求解；

（3）先求出直線AC的解析式，設點N（x，-x2-2x+3），則點M（x，x+3），則MN=-x2-2x+3-x-3=-x2-3x，即可求解．

（1）y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3或1，

故點A、B、C的坐標為（﹣3，0）、（1，0）、（0，3），

函數的對稱軸為：x＝﹣1，故頂點D（﹣1，4）；

（2）作點C關于函數對稱軸的對稱點F，連接FB，交拋物線的對稱軸于點E，點E為所求點，此時△CBE的周長＝BC+EC+EB＝BC+BE+EF＝FB+BC，

∵BC是常數，F、E、B共線，故此時△CBE的周長＝FB+BC最小，

∵（0，3），對稱軸為：x＝﹣1，

∴點F（﹣2，3），

設BF的解析式為：y=kx+b，

將點B、F的坐標代入一次函數表達式得：

，解得：，

故直線BF的函數表達式為：y＝﹣x+1，

當x＝﹣1時，y＝2，故點E（﹣1，2）；

（3）將點A、C的坐標代入一次函數表達式，

設直線AC的解析式為：y=mx+n，

把A、C的坐標代入得

，解之得，

∴直線AC的函數表達式為：y＝x+3，

設點N（x，﹣x2﹣2x+3），則點M（x，x+3），

則MN＝﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x2﹣3x，

∵﹣1＜0，故MN有最大值，此時x＝﹣，

故點N（﹣，）