Question

【題目】如圖，已知拋物線過點，過定點 的直線:與拋物線交于、兩點，點在點的右側，過點作軸的垂線，垂足為.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點在x軸上運動，連接，作的垂直平分線與過點D作x軸的垂線交于點，判斷點是否在拋物線上，并證明你的判斷；

（3）若，設的中點為，拋物線上是否存在點，使得周長最小，若存在求出周長的最小值，若不存在說明理由；

（4）若，在拋物線上是否存在點，使得的面積為，若存在求出點的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，理由詳見解析；（3）存在，;（4）存在， 或或

【解析】

（1）拋物線過點，利用待定系數法即可求解；

（2）設I的坐標為 ，過I作IH⊥y軸于點H，由點I在線段DF的垂直平分線上，求得ID=IF=y，在Rt中，利用勾股定理計算，求得得點I的坐標為，從而說明點在拋物線上；

（3）先求得的中點M的坐標為，作PN⊥軸于點N，利用(2)的結論：拋物線上的點到點F的距離等于它到軸的距離，當三點共線時，周長最小，即可求得答案；

（4）作QR⊥軸于點D，交AB于點R，先求得直線的解析式和點的坐標，利用三角形面積公式求得，再求得，設點的坐標為：，則點的坐標為：，則，解方程即可求得點的坐標．

（1）∵拋物線過點，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）在，理由如下：

設I的坐標為 ，過I作IH⊥y軸于點H，如圖：

則，，

∵點I在線段DF的垂直平分線上，

∴ID=IF=y，

在Rt中，，

∴，

化簡得：，

∴點I在拋物線上；

（3）存在，理由如下：

若，設的中點為，

，

消去y得：，

∴點M的橫坐標為：，

縱坐標為：，

∴點M的坐標為：，

由(2)可知：拋物線上的點到點F的距離等于它到軸的距離，

設拋物線上存在點P，使得周長最小，

過點P作PN⊥軸于點N，如圖：

∵，

由于是定值，，

∴當三點共線，即⊥軸于點N時，周長最小，

此時點的坐標為：，，

，

∴周長最小值為：；

（4）存在，理由如下：

過點Q作QR⊥軸于點D，交AB于點R，如圖，

將代入得：，

∴直線的解析式為：，

解得：，，

∴點的坐標為：，

，

∵的面積為，

∴，

∴，

設點的坐標為：，則點的坐標為：，

∴，

當時，

解得：，此時點的坐標為：，

當時，即，

，

解得：或，此時點的坐標為：或，

綜上：滿足條件的點為： 或或．