Question

【題目】如圖（1），已知點在止方形的對角線上，，垂足為點，，垂足為．

（1）求證：四邊形是正方形并直接寫出的值．

（2）將正方形繞點順時針方向旋轉，如圖（2）所小，試探究與之間的數量關系，并說明理由．

（3）正方形在旋轉過程中，當，，，三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長交于點．若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析， ；（2）線段與之間的數量關系為，理由詳見解析；（3）．

【解析】

（1）由、結合可得四邊形是矩形，再由即可得證；

（2）由正方形性質知、，據此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；連接，只需證即可得；

（3）證得，設，知，由得、、，由可得的值．

（1）四邊形是正方形，

，，

、，

，

四邊形是矩形，，

，

四邊形是正方形；

（2）②由①知四邊形是正方形，

，，

，，

，

如圖，連接，

由旋轉性質知，

在和中，

、，

，

，

，

線段與之間的數量關系為；

（3），點、、三點共線，

，

，

，

，

，

，

．

設，則，則由得，

，

則，，

得，

解得：，即．