Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+4x-1與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于另一點D，AB∥x軸交拋物線于點A，B，點A在點B的左側，且兩點均在第一象限，BH⊥CD于點H．設點A的橫坐標為m．

（1）當m=1時，求AB的長.

（2）若AH=（CH-DH），求m的值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）因為A在拋物線上，則把m=1代入二次函數解析式y=-x2+4x-1解得y=2，令-x2+4x-1=2解得的兩個根分別是A、B兩點的橫坐標．由于B點在A點右邊，用B點橫坐標減去A點橫坐標所得的數值就是AB線段的長度．

（2）根據題意以及拋物線的對稱性分析可得AB=CH-DH，若AH=（CH-DH），實際上AH=AB，此時△ABH應為等腰直角三角形，∠B為直角，AB=BH，用待定系數法設點A的坐標為（m，-m2+4m-1），再利用等腰三角形邊比數量關系設出B點坐標，由于A、B兩點關于對稱軸直線x=2對稱，建立方程求解即可得m的值．

（1）∵m=1，

∴A的橫坐標為1，

代入y=-x2+4x-1得，y=2，

∴A（1，2），

把y=2代入y=-x2+4x-1得，2=-x2+4x-1，

解得x1=1，x2=3，

∴B（3，2），

∴AB=3-1=2．

（2）∵AB∥x軸交拋物線于點A，B，

∴A、B兩點關于對稱軸對稱，

∴CH-DH=AB，

∵AH=（CH-DH），

∴AH=AB，

∴，

∴∠BAH=45°，

∴AB=BH，

由A在拋物線上，則設A（m，-m2+4m-1），則B（-m2+5m，-m2+4m-1）．

∴對稱軸h=

∴整理得，m2-6m+4=0

解得，m=3+或m=3-

又∵A點在對稱軸左邊

∴m＜2

∴m=3-