Question

【題目】如圖，PB與⊙O相切于點B，過點B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點A，連結PA，AO，AO的延長線交⊙O于點E，與PB的延長線交于點D.

（1）求證：PA是⊙O的切線;

（2）若tan∠BAD=， 且OC=4，求PB的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）PB=3

【解析】

（1）通過證明△PAO≌△PBO可得結論；

（2）根據tan∠BAD=，且OC=4，可求出AC=6，再證得△PAC∽△AOC，最后利用相似三角形的性質以及勾股定理求得答案．

解：（1）連結OB，則OA=OB，如圖1，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分線，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵ ，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PBO=∠PAO，

∵PB為⊙O的切線，B為切點，

∴PB⊥OB，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，

∴AC=6，則BC=6，

∴，

在Rt△APO中，AC⊥OP，

易得△PAC∽△AOC，

∴，即AC2=OCPC，

∴PC=9，

∴OP=PC+OC=13，

在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=．