Question

【題目】已知某種月餅形狀的俯視圖如圖1所示，該形狀由1個正六邊形和6個半圓組成，半圓直徑與正六邊形的邊長相等．

現商家設計了2種棱柱體包裝盒，其底面分別為矩形和正六邊形(如圖2和圖3)我們可從底面的利用率來記算整個包裝盒的利用情況．(底面利用率=×100%)

（1）請分別計算出圖2與圖3中的底面利用率(結果保留到0.1%)；

（2）考慮到節約成本，商家希望底面利用率能夠不低于80%，且底面圖形仍然采用最基本的幾何形狀，請問商家的要求是否能夠滿足，若可以滿足，請設計一種方案，并直接寫出此時的利用率；若不能滿足，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）圖2、3的底面利用率分別約為66.4%、40.2%；（2）設計底面為圓形的包裝盒，利用率約為84.5%.

【解析】

（1）設半圓直徑與正六邊形的邊長為a，根據正多邊形和圓的知識，算出月餅面積，再算出圖2正方形的邊長，即可求出圖2的面積，和圖2底面的利用率；圖3的包裝盒六邊形和月餅相似，利用面積比等于相似比的平方，求出圖3包裝盒的底面利用率；

（2）設計底面為圓形的包裝盒，求出其半徑、面積、底面利用率，滿足底面利用率不低于80%.

解：（1）設半圓直徑與正六邊形的邊長a，連接正六邊形的中心和兩相鄰的頂點，則,,

∴是等邊三角形，

∴=a,

過點作,

∴，,

∴=，

延長OC與其中一個半圓交于點D，

則，

∴,

40.2%;

===66.4%;

答：圖2、3的底面利用率分別約為66.4%、40.2%；

（2）商家的要求是否能夠滿足，設計如圖所示底面為圓的包裝盒，半徑為，

=，

答：設計底面為圓形的包裝盒，利用率約為84.5%.