Question

【題目】已知，AB為⊙O的直徑，弦BC、AF相交于點E，過點E作ED⊥AB，∠AEC＝∠BED．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，當∠BAF＝45°時，OC交AF于點H，作FG⊥BH于點Q，交AB于點G，連接GH，求證：∠AGH＝∠BGF；

（3）如圖3，在（2）的條件下，射線HG與⊙O交于點P，過點P作PK⊥BH交AB于點M，垂足為點K，點N為BH的中點，MN＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）6．

【解析】

（1）如圖1，連接BF，證△BDE≌△BFE，推出∠ABC＝∠FBC，根據圓周角定理，即可得出結論；

（2）如圖2，連接OF、BF，作AS⊥AF于點A，交FG的延長線于點S，證△FSA≌△BHF，再證△SAG≌△HAG，可得∠SGA＝∠AGH，即可得出結論；

（3）如圖3，過點O作OR⊥HP于點R，OT⊥BH于點T，連接BP分別證△ORH≌△OTH和△ORP≌△OTB，推出PH＝BH，設∠OPR＝∠OBT＝α，推出PO⊥BO，∠OPB＝∠OBP＝45°，PG＝PM，OG＝OM，過點M作ML⊥BP于點L，求出tan∠PML＝tan∠PBH＝2，設BM＝4a，則BL＝ML＝2a，結合N為BH的中點，GH＝2MN＝，過點G作GU⊥OH于點U，在Rt△GUH中，可求出GU＝，即可求出a的值，可進一步求出OB的長．

（1）如圖1，連接BF，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∵∠AEC＝∠BED，∠AEC＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠BED，

∵ED⊥AB，

∴∠BDE＝∠AFB＝90°，

又∵BE＝BE，

∴△BDE≌△BFE（AAS），

∴∠ABC＝∠FBC，

∴；

（2）如圖2，連接OF、BF，作AS⊥AF于點A，交FG的延長線于點S，

∵，

∴∠AOC＝∠FOC，

∵AO＝OF，

∴OC⊥AF，

∴AH＝HF＝AF，

∵∠BAF＝45°，∠AFB=90°

∴AF＝BF，

∵FG⊥BH，AS⊥AF，

∴∠S＝∠BHF，

又∵∠SAF＝∠HFB＝90°，

∴△FSA≌△BHF（AAS），

∴AS＝HF＝AH，

∵∠SAG＝∠GAH＝45°，AG＝AG，

∴△SAG≌△HAG（SAS），

∴∠SGA＝∠AGH，

∴∠AGH＝∠BGF；

（3）如圖3，過點O作OR⊥HP于點R，OT⊥BH于點T，連接BP，

∵△SAG≌△HAG，

∴∠AHG＝∠S＝∠BHF，

∵OH⊥AF，

∴∠OHG＝∠OHB，

∵∠ORH＝∠OTH＝90°，OH＝OH，

∴△ORH≌△OTH（AAS），

∴RH＝TH，OR＝OT，

又∵OP＝OB，∠ORP＝∠OTB＝90°，

∴Rt△ORP≌Rt△OTB（HL），

∴PR＝BT，

∴PR+RH＝BT+TH，

即PH＝BH，

∴∠HPB＝∠HBP，

設∠OPR＝∠OBT＝α，

∵∠AOH＝∠A＝45°，

∴∠PHO＝∠BHO＝∠AOH﹣∠OBH＝45°﹣α，

∴∠PHB＝90°﹣2α，

∴∠HPB＝∠HBP＝45°+α，

∴∠PBO＝45°，

∵PO＝BO，

∴∠OPB＝∠OBP＝45°，

∴PO⊥AB，

∵PK⊥BH，GF⊥BH，

∴PK∥GF，

∴∠PMG＝∠BGF，

∵∠PGM＝∠AGH＝∠BGF，

∴∠PGM＝∠PMG，

∴PG＝PM，

∴OG＝OM，

過點M作ML⊥BP于點L，

∵∠PBH＝∠BHF＝45°+α，

∴tan∠PBH＝tan∠BHF＝＝2，

∵∠MPL＝∠BPK，

∴∠PML＝∠PBH，

∴tan∠PML＝tan∠PBH＝2，

設BM＝4a，則BL＝ML＝2a，

∴PL＝4a，

∴PB＝6a，

∴PO＝BO＝6a，

∴OM＝OG＝2a，

∴GM＝4a，

∴GM＝BM，

∵N為BH的中點，

∴MN為BGH的中位線，

∴GH＝2MN＝，

過點G作GU⊥OH于點U，

則tan∠GHO＝tan∠OHB＝tan∠FBH＝，

在Rt△GUH中，設GU＝b，則UH＝2b，GH＝b，

∴b=，

∴GU＝，

∴GO＝2＝2a，

∴a＝1，

∴OB＝6a＝6，

即⊙O的半徑為6．