Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，M是AD邊的中點，BM與AC垂直，交直線AC于點N，連接DN，則下列四個結論中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正確的有（　　）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

通過證明△AMN∽△CBN，可得，可證CN=2AN；過D作DH∥BM交AC于G，可證四邊形BMDH是平行四邊形，可得BH=MD=BC，由直角三角形的性質和等腰三角形的性質可得DN=DC；通過證明△ABM∽△BCA，可得，可求AB=BC，即可得tan∠DAC=；由平行線性質可得∠DAC=∠ACB，∠ABC=∠ANM=90°，可證△AMN∽△CAB，則可求解．

∵AD//BC，

∴△AMN∽△CBN，

∴，

∵M是AD邊的中點，

∴AM＝MD＝AD＝BC，

∴，

∴CN＝2AN，故①正確；

如圖，過D作DH//BM交AC于G，

∵DH//BM，BM⊥AC，

∴DH⊥AC，

∵DH//BM，AD//BC，

∴四邊形BMDH是平行四邊形，

∴BH＝MD＝AD＝BC，

∴BH＝CH，

∵∠BNC＝90°，

∴NH＝HC，

∵DH⊥AC，

∴DH是NC的垂直平分線，

∴DN＝CD，故②正確；

∵AD//BC，

∴∠DAC＝∠BCA，

∵∠BAC+∠ACB＝90°，∠DAC+∠AMB＝90°，

∴∠BAC＝∠AMB，

∵∠BAM＝∠ABC，

∴△ABM∽△BCA，

∴，

∴AB2＝BC2，

∴AB＝BC，

∵tan∠DAC＝tan∠ACB＝，

∴tan∠DAC＝，故③錯誤，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠ANM＝90°，

∴△AMN∽△CAB，故④正確；

故選：C．