Question

【題目】二次函數y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點A、B，與y軸交于點C，且A(1，0)、B(4，0)．

(1)求此二次函數的表達式；

(2)如圖1，拋物線的對稱軸m與x軸交于點E，CD⊥m，垂足為D，點F(，0)，動點N在線段DE上運動，連接CF、CN、FN，若以點C、D、N為頂點的三角形與△FEN相似，求點N的坐標；

(3)如圖2，點M在拋物線上，且點M的橫坐標是1，點P為拋物線上一動點，若∠PMA=45°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）．

（2）N或N．

（3）P．

【解析】

（1）直接把A(1，0)、B(4，0)坐標代入函數解析式求得的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）先求得拋物線的對稱軸，然后求得CD，EF的長，設點N的坐標為（）則ND＝，NE＝，然后依據相似三角形的性質列出關于的方程，然后可求得的值；

（3）過點A作AD∥y軸，過點M作DM∥x軸，交點為D，過點A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x軸，垂足為F，連結EM交拋物線與點P．則△AME為等腰直角三角形，然后再求得點M的坐標，從而可得到MD＝2，AD＝6，然后證明∴△ADM≌△AFE，于是可得到點E的坐標，然后求得EM的解析式為，最后求得直線EM與拋物線的交點坐標即可．

解：(1)把A(1，0)、B(4，0)代入y=ax2+bx+4

解得：

所以二次函數為：．

(2)因為CD⊥m，FE⊥m，

所以

①當時，則

因為拋物線的對稱軸為，C（0,4）F(，0)

所以CD＝，EF＝，設N（，）

所以NE＝，DN＝4－，

所以 ，即，

解得：，所以N（，2）．

②當時，則，

所以，解得： ，

所以N（， ），

綜上可知N（，2）或N（， ）．

(3) 如圖所示：過點A作AD∥y軸，過點M作DM∥ 軸，交點為D，

過點A作AE⊥AM，取AE=AM，作EF⊥軸，垂足為F，連結EM交拋物線與點P．

∵AM＝AE，∠MAE＝90°，

∴∠AMP＝45°．

將代入拋物線的解析式得：，

∴點M的坐標為（1，6）． ∴MD＝2，AD＝6．

∵∠DAM+∠MAF＝90°，∠MAF+∠FAE＝90°，

∴∠DAM＝∠FAE．

在△ADM和△AFE中

∴△ADM≌△AFE． ∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6．

∴E（5，-2）．

設EM的解析式為． 將點M和點E的坐標代入得：

解得

∴直線EM的解析式為．

所以

解得： 或 , ∴點P的坐標為（4，0）．