Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，DB=DC，點E、F分別為DB、BC的中點，連接AE、EF、AF．

（1）求證：AE=EF；

（2）當AF=AE時，設∠ADB=α，∠CDB=β，求α，β之間的數量關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）α，β之間的數量關系式為2α+β=60°．

【解析】

（1）根據三角形的中位線的性質得到EF=CD，根據直角三角形的性質得到AE=BD，于是得到結論；

（2）根據題意得到△AEF是等邊三角形，求得∠AEF=60°，根據三角形中位線的性質和三角形外角的性質即可得到結論．

（1）∵點E、F分別為DB、BC的中點，

∴EF=CD，

∵∠DAB=90°，

∴AE=BD，

∵DB=DC，

∴AE=EF；

（2）∵AF=AE，AE=EF，

∴△AEF是等邊三角形，

∴∠AEF=60°，

∵∠DAB=90°，點E、F分別為DB、BC的中點，

∴AE=DE，EF∥CD，

∴∠ADE=∠DAE=α，∠BEF=∠BDC=β，

∴∠AEB=2∠ADE=2α，

∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=2α+β=60°，

∴α，β之間的數量關系式為2α+β=60°．