Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，E為AB的中點，且EC、ED分別為∠BCD、∠ADC的角平分線，EF⊥CD交BC的延長線于點G，連接DG.

（1）求證：CE⊥DE；

（2）若AB=6，求CF·DF的值；

（3）當△BCE與△DFG相似時，的值是 .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF·DF的值為9；（3）的值為或

【解析】

(1)利用平行線及角平分線的性質即可證明；

（2）可證△CFE∽△EFD，可得 ，變形得 由角平分線性質可得

FF=EA=3，代入即可得結論

（3）分類討論：若△BCE∽△FDG，可證△BCE≌△FEC、△ADE≌△FED，過G作GH⊥AD于H可證△BCE∽△HDG可得 即可得；當△BCD∽△FGD時可證△CFE≌△CFG可推出∠1=60°，∠4=30°在Rt△BCE中 ，在Rt△ADE中 即可得的值.

(1)證明：

∵BC∥AD

∴∠BCD+∠ADC=180°

∵EC、ED分別平分∠BCD、∠ADC

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=180°

∴∠2+∠3=90° ∴∠CED=90°

∴CE⊥DE

(2)∵CE⊥DE，EF⊥CD

∴∠2+∠5=90°，∠2+∠3=90°

∴∠5=∠3

∴△CFE∽△EFD

∴

∴

∵ED平分∠FDA，∠A=∠EFD=90°

∴FF=EA

∵E為AB中點，AB=6

∴FE=AE=BE=3

∴

(3) 若△BCE∽△FDG

∴∠1=∠FDG

∵∠1=∠2

∴∠2=∠FDG

∴EC∥CD

∴

∵∠1=∠2，∠EBC=∠CFE=90°，EC=EC

∴△BCE≌△FCE

∴BC=CF

∵∠3=∠4，∠A=∠EFD=90°，ED=ED

∴△ADE≌△FDE

∴AD=FD

∴

∴

過G作GH⊥AD于H

∴∠DHG=90°

∵∠3=∠4，∠FDG=∠2

又∵∠3+∠4+∠FDG+∠GDH=180°

∠3+∠4+∠1+∠2=180°

∴∠GDH=∠1

又∵∠GFD=∠B=90°

∴△BCE∽△HDG

∴

∵

∴

∴

∴

∴

當△BCD∽△FGD

∴∠GDF=∠BEC

∴∠BEC=∠5=∠3=∠4

∵FD=FD，∠3=∠FDG，∠EFD=∠GFD

∴△EDF≌△GFD

∴EF=FG

∵FD⊥EG

∴∠EFC=∠GFC=90°

又∵CF=CF

∴△CFE≌△CFG

∴∠2=∠GCD

∴∠1=∠2=∠GCD

∵∠1+∠2+∠GCD=180°

∴∠1=60°

∴∠4=30°

在Rt△BCE中

在Rt△ADE中

∴

綜上所述的值為或