Question

【題目】如圖將正方形ABCD繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．

（1）如圖1，B′C′與AC交于點M，C′D′與AD所在直線交于點N，若MN∥B′D′，求α；

（2）如圖2，C′B′與CD交于點Q，延長C′B′與BC交于點P，當α＝30°時．

①求∠DAQ的度數；

②若AB＝6，求PQ的長度．

Answer 1

【答案】（1）α＝22.5°；（2）①30°；②12﹣4．

【解析】

（1）先根據正方形的性質、旋轉的性質、平行線的性質得出，再根據等腰三角形的性質、線段的和差可得，然后根據三角形全等的判定定理與性質可得，最后根據正方形的性質、角的和差即可得；

（2）①先根據旋轉的性質可得，再根據正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質可得，然后根據角的和差即可得；

②如圖2（見解析），設，先根據三角形全等的判定定理與性質得出，再根據直角三角形的性質、平角的定義得出，又根據等腰三角形的性質、三角形的外角性質得出，從而可得，，然后根據線段的和差可求出a的值，從而可得PC的長，最后在中，利用的余弦值即可得．

（1）如圖1，由旋轉的性質得：

四邊形是正方形

四邊形是正方形

，，

∴，

∴

∴

∵，

∴，即

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

即；

（2）①如圖2，由旋轉的性質和題意得：

∵

∴

∴

∵

∴

∴；

②如圖2，連接AP，在AB上取一點E，使得，連接EP

設

∵，，

∴

∴

∵

∴

∴

∴，

∵

∴

∴，即

∴

在中，，即

解得．