Question

【題目】如圖1，等腰Rt△CEF的斜邊CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上，CF>BC，取線段AE的中點M 。

（1）求證：MD=MF,MD⊥MF
（2）若Rt△CEF繞點C順時針旋轉任意角度（如圖2），其他條件不變。（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）如圖1，延長DM交CE于點N，

∵M是AE的中點， ∴AM=ME，
∵CE在正方形ABCD的邊BC的延長線上，
∴AD∥CE，
∴∠DAM=∠NEM， 在△ADM與△ENM中，∠DAM=∠NEM；AM=EM；∠AMD=∠EMN
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴DM=MN，AD=NE， 連接DF、FN，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=∠ECF=45°，CF=EF，
∴∠DCF=90°-∠ECF=90°-45°=45°，
∴∠CEF=∠DCF， 在△CDF與△ENF中，CD=NE；∠CEF=∠DCF；CF=EF
∴△CDF≌△ENF（SAS），
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=∠CFD+∠CFN=∠EFN+∠CFN=∠CFE=90°，
又∵DM=MN，
∴MD=MF，MD⊥MF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形三線合一）
（2）解：仍然成立．理由如下： 如圖2，過點E作EG∥AD交DC的延長線于點G，延長DM交EG于點N，

∴∠DAM=∠NEM，
∵M是AE的中點，
∴AM=ME， 在△ADM與△ENM中，∠DAM=∠NEM；AM=EM；∠AMD=∠EMN
∴△ADM≌△ENM（ASA），
∴DM=MN，AD=NE， 連接DF、FN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠G=∠ADC=90°，
∴∠NEF=360°-90°×2-∠GCF=180°-∠GCF， ∠DCF=180°-∠GCF，
∴∠DCF=∠NEF， 在△CDF與△ENF中，CD=NE；∠DCF=NEF；CF=EF
∴△CDF≌△ENF（SAS），
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=∠CFD+∠CFN=∠EFN+∠CFN=∠CFE=90°，
又∵DM=MN，
∴MD=MF，MD⊥MF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形三線合一）
【解析】（1）延長DM交CE于點N，利用角邊角定理可以證明△ADM與△ENM全等，根據全等三角形對應邊相等可得DM，MN，AD，NE之間的關系，再連接DF、FN，根據等腰直角三角形兩腰相等，兩個底角的度數，利用邊角邊定理可以證明△CDF與△ENF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=NF，對應角相等可得∠CFD=∠EFN，然后推出∠DFN=∠CFE=90°，再根據等腰三角形三線合一的性質即可得證；
（2）先過點E作EG∥AD交DC的延長線于點G，然后根據（1）的思路延長DM交EG于點N，利用角邊角定理可以證明△ADM與△ENM全等，根據全等三角形對應邊相等可得DM=MN，AD=NE，再連接DF、FN，根據四邊形的內角和等于360°以及平角等于180°求出∠DCE=∠NEF，再利用邊角邊定理可以證明△CDF與△ENF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=NF，對應角相等可得∠CFD=∠EFN，然后推出∠DFN=∠CFE=90°，再根據等腰三角形三線合一的性質即可得證．