Question

【題目】如圖，△ABC中，P'是邊AB上一點，四邊形P'Q'M'N'是正方形，點Q'，在邊BC上，點N'在△ABC內．連接BN'，并延長交AC于點N，NM⊥BC于點M，NP⊥MN交AB于點P，PQ⊥BC于點Q．

（1）求證：四邊形PQMN為正方形；

（2）若∠A=90°，AC=1.5m，△ABC的面積=1.5m2．求PN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PN的長為m．

【解析】

（1）先證得四邊形PQMN為矩形．根據正方形的性質得到PN∥P'N'，MN∥M'N'，得到，，由此證得PN=MN，即可得到結論；

（2）作AD⊥BC于D，AD交PN于E，根據△ABC的面積=1.5m2求出AB=2，BC=2.5，AD=，設PN=x，則PQ=DE=x，AEx，由PN∥BC證得△APN∽△ABC，即可求出PN.

（1）∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，

∴四邊形PQMN為矩形．

∵四邊形P'Q'M'N'是正方形，

∴PN∥P'N'，

∴，

∵MN∥M'N'，

∴，

∴，

而P'N'=M'N'，

∴PN=MN，

∴四邊形PQMN為正方形；

（2）作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如圖，

∵△ABC的面積=1.5，

∴ABAC=1.5，

∴AB=2，

∴BC2.5．

∵BCAD=1.5，

∴AD，

設PN=x，則PQ=DE=x，AEx．

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴，即，

解得：x，

即PN的長為m.