Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC＝BD，連接AC，E為AC上一點，直線ED與AB延長線交于點F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝12．

（1）求⊙O半徑；

（2）求證：DE為⊙O的切線；

Answer 1

【答案】（1）半徑為6；（2）見解析

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角是直角，證明AD⊥BC，結合DC＝BD可得AB=AC=12，則半徑可求出；
（2）連接OD，先證得∠AED＝90°，根據三角形中位線定理得出OD∥AC，由平行線的性質，得出OD⊥DE，則結論得證．

解：（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

又∵BD＝CD，

∴AB＝AC＝12，

∴⊙O半徑為6；

（2）證明：連接OD，

∵∠CDE＝∠DAC，

∴∠CDE+∠ADE＝∠DAC+∠ADE，

∴∠AED＝∠ADB，

由（1）知∠ADB＝90°，

∴∠AED＝90°，

∵DC＝BD，OA＝OB，

∴OD∥AC．

∴∠ODF＝∠AED＝90°，

∴半徑OD⊥EF．

∴DE為⊙O的切線．