Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+6經過點A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點C．點D是拋物線上的一個動點，點D的橫坐標為m（1＜m＜4），連接AC，BC，DB，DC．

（1）求拋物線的解析式.

（2）當△BCD的面積等于△AOC的面積的時，求m的值.

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得△QAC的周長最小，若存在，求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝3；（3）點Q的坐標為（1，）．

【解析】

（1）由A、B兩點坐標可得拋物線兩點式解析式，進而可求出a值，即可得答案；（2）設直線BC的表達式為y=kx+b，根據拋物線的解析式可得C點坐標，利用待定系數法可得直線BC的解析式，設點D（m，），過點D作y軸的平行線交直線BC與點H，可得點H（m，），根據三角形面積公式列方程求出m的值即可；（3）根據二次函數的對稱性可得拋物線的軸對稱與BC的交點即為點Q，根據二次函數解析式可得對稱軸方程，把對稱軸方程代入BC解析式即可求出Q點縱坐標，即可得答案.

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6經過點A（﹣2，0），B（4，0），

∴拋物線解析式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，

∴﹣8a＝6，

解得：，

故拋物線的表達式為：；

（2）設直線BC的表達式為y=kx+b，

∵拋物線與y軸交于點C，

∴點C（0，6），

將點B、C的坐標代入一次函數表達式得：，

解得：，

∴直線BC的表達式為：，

如圖1，過點D作y軸的平行線交直線BC與點H，

設點D（m，），則點H（m，）

S△BDC＝HD×OB＝2（）＝2（），

S△ACO＝××6×2＝，

∴2（﹣m2+3m）＝，

解得：m＝3或m=1（舍去），

∴m＝3；

（3）如圖2，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△QAC的周長最小，連接BC，

∵A、B兩點關于對稱軸對稱，

∴QA=QB，

∴QA+QC=QC+QB，

∴BC為QA+QC的最小值，即△QAC的周長最小.

∴拋物線的軸對稱與BC的交點即為點Q，

∵拋物線的軸對稱為x＝1，

∴把x＝1代入直線BC的表達式得，

∴點Q的坐標為（1，）．