Question

【題目】如圖，已知拋物線 與 軸、 軸分別相交于點A（－1，0）和B（0，3），其頂點為D．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若拋物線與 軸的另一個交點為E，求△ODE的面積；拋物線的對稱軸上是否存在點P使得△PAB的周長最短．若存在請求出點P的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意得
，解得
∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；
（2）解：當y=0時，-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，則E（3，0）；
y=-（x-1）2+4，則D（1，4），
∴S△ODE= ×3×4=6；
連接BE交直線x=1于點P，如圖，則PA=PE， ∴PA+PB=PE+PB=BE， 此時PA+PB的值最小， 易得直線BE的解析式為 y=-x+3．， 當x=1時，y=-x+3=3， ∴P（1，2）．
【解析】（1）利用待定系數法將點A、B的坐標代入函數解析式，建立方程組，求解即可求出結果。
（2）先由y=0，解方程求出拋物線與x軸的交點E的坐標，，再求出拋物線的頂點坐標，利用三角形的面積公式求出△ODE的面積；連接BE交直線x=1于點P，利用兩點之間線段最短，然后求出直線BE的解析式，易求出點P的坐標。