Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT平分∠BAD交⊙O于點T，過T作AD的垂線交AD的延長線于點C．

（1）求證：CT為⊙O的切線；
（2）若⊙O半徑為2， ，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OT，

∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
又∵AT平分∠BAD，
∴∠DAT=∠OAT，
∴∠DAT=∠OTA，
∴OT∥AC，
又∵CT⊥AC，
∴CT⊥OT，
∴CT為⊙O的切線
（2）解：過O作OE⊥AD于E，則E為AD中點，
又∵CT⊥AC，
∴OE∥CT，
∴四邊形OTCE為矩形
∵CT= ，
∴OE= ，
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中， =1，
∴AD=2AE=2
【解析】（1）要證相切，可證CT⊥OT，由CT⊥AC，需證OT∥AC，即證出∠DAT=∠OTA，進而得出CT為⊙O的切線；（2）求弦長需作垂線，構造出弦心距，利用勾股定理求出弦的一半，進而求出整個弦長.