Question

【題目】感知：如圖①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，正方形CDEF的頂點D、F分別在邊AC、BC上，易證：AD=BF（不需要證明）；

探究：將圖①的正方形CDEF繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），連接AD、BF，其他條件不變，如圖②，求證：AD=BF；

應用：若α=45°，CD=，BE=1，如圖③，則BF=　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析: 探究：證明△ADC≌△BFC，可得結論；

應用：過D作DG⊥AC于G，先根據勾股定理得：EC=2，得正方形邊長為3，則AC=3，根據α=45°，得△DCG是等腰直角三角形，求出CG的長，則得AG的長，再次利用勾股定理求AD的長，即BF的長．

試題解析:

證明:探究:如圖②，

四邊形CDEF為正方形,

∴CD=CF,

由旋轉得:∠ACD=∠BCF,

△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,

∴AC=BC，

△ADC≌△BFC,

∴AD=BF；

應用:如圖③,

∵四邊形CDEF為正方形,

∠EDC=90° ED=DC,

,

∴BC=BE+EC=1+2=3,

∴AC=BC=3，

過D作DG⊥AC于G,

∵a=45°,

即∠ACD=45,

∴△DCG是等腰直角三角形,

∴DG=CG=1,

∴AG=BC-CG=3-1=2,

由勾股定理得: ,

同理得:△ADC≌△BFC,

點睛: 本題是四邊形和圖形旋轉的綜合題，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性質，熟知正方形的各邊相等，各角都是90°，等腰直角三角形的兩直角邊相等，且銳角為45°；明確旋轉角相等，同時利用三角形全等和勾股定理求邊和角的度數，使問題得以解決．