Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D為BC上一點，點E為△ABC外一點，CE⊥AD，垂足為H，EB⊥BC，BF＝EF，∠ADB+∠BDF＝135°，則FD的長為_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如圖，取BC的中點O，連接OA，OF，在BO上取點G，使得BG=BF，則△BFG是等腰直角三角形．證明△AOD≌△OBF（ASA），推出OD＝BF，設EF＝BF＝OD＝a，則BG＝a，FG＝a，OG＝2﹣a，DG＝2﹣2a，再證明△FGO∽△DGF，推出＝，由此構建方程求出a即可解決問題．

解：如圖，取BC的中點O，連接OA，OF，在BO上取點G，使得BG=BF，則△BFG是等腰直角三角形．

∵AB＝BC，∠BAC＝90°，AO平分BC，

∴AO⊥BC，AO＝BO＝OC，

∴∠DAO+∠ADO＝90°，

∵CH⊥AD，

∴∠DCH+∠ADO＝90°，

∴∠DAO＝∠DCH，

∵BO＝OC，BF＝EF，

∴OF∥CE，

∴∠FOB＝∠DCH＝∠DAO，

∴△AOD≌△OBF（ASA），

∴OD＝BF，

設EF＝BF＝OD＝a，則BG＝a，FG＝a，OG＝2﹣a，DG＝2﹣2a，

∵∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠ABD＝135°，且∠ADB+∠BDF＝135°，

∴∠BDF＝∠BAD，

∵∠DAO+∠BAD＝45°，∠BDF+∠GFD＝∠FGB＝45°，

∴∠DAO＝∠GFD，

∵∠FOB＝∠DAO，

∴∠FOB＝∠GFD，

∴△FGO∽△DGF，

∴＝，

∴＝，

解得a＝，

∴BD＝2﹣a＝，

∴DF＝＝＝．

故答案為．