Question

【題目】如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連接AE并延長交BD于點F，連接CF．

（1）求證：CF＝BF；

（2）求證：CF是⊙O的切線；

（3）若FB＝FE＝3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）6．

【解析】

（1）連接OC，BC，證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF＝DF，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CF＝DF＝BF即可；

（2）證明∠FCB＝∠CAB即可推出CF是⊙O的切線；

（3）分別延長CF和AB交于點G，∠G＝∠FAG，推出AF＝FG，求出AB＝BG，由切割線定理得出（3+FG）2＝BG×AG＝2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2推出FG2﹣6FG﹣27＝0，求出FG即可，再在Rt△ABF中利用勾股定理即可解決問題．

（1）證明：連接OC，BC，

∵BD切⊙O于B，CH⊥AB，

∴∠CHA＝∠DBA＝90°，

∴CH∥BD，

∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，

∴，，

∴，

又∵CE＝EH（E為CH中點），

∴BF＝DF，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠DCB＝90°，

∵BF＝DF，

∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

即CF＝BF；

（2）證明：∵BF切⊙O于B，

∴∠DBA＝90°，

∴∠DBC+∠CBA＝90°，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝∠BCD＝90°，

∴∠FBC＝∠CAB，

∵OC＝OA，CF＝BF，

∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，

∴∠FCB＝∠CAB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∴∠FCB+∠BCO＝90°，

即OC⊥CF，

∴CF是⊙O切線；

（3）解：分別延長CF和AB交于點G，

∵BF＝CF＝DF（已證），FE＝FB＝3，

∴EF＝FC＝3，

∴∠FCE＝∠FEC，

∵∠AHE＝∠CHB＝90°，

∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，

∵∠AEH＝∠CEF，

∴∠G＝∠FAG，

∴AF＝FG，

∵FB⊥AG，

∴AB＝BG，

∵GBA是⊙O割線，AB＝BG，FB＝FE＝3，

∴由切割線定理得：（3+FG）2＝BG×AG＝2BG2，

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，

∴FG2﹣6FG﹣27＝0，

解得：FG＝9或FG＝﹣3（舍去），

∴AB＝，

故答案為：．