Question

【題目】如圖，在中，，平分交于點，為上一點，經過點，的分別交，于點，，連接交于點.

（1）求證：是的切線；

（2）設，，試用含的代數式表示線段的長；

（3）若，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）連接OD，由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內錯角相等，進而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；

（2）連接DF，由（1）得到BC為圓O的切線，由弦切角等于夾弧所對的圓周角，進而得到三角形ABD與三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；

（3）連接EF，設圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數定義求出r的值，由直徑所對的圓周角為直角，得到EF與BC平行，得到sin∠AEF=sinB，進而求出DG的長即可．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵AD為∠BAC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC為圓O的切線；

（2）連接DF，由（1）知BC為圓O的切線，

∴∠FDC=∠DAF，

∴∠CDA=∠CFD，

∴∠AFD=∠ADB，

∵∠BAD=∠DAF，

∴△ABD∽△ADF，

∴

，即AD2=ABAF=xy，

則AD=

（3）連接EF，在Rt△BOD中，sinB=，

設圓的半徑為r，可得，

解得：r=5，

∴AE=10，AB=18，

∵AE是直徑，

∴∠AFE=∠C=90°，

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，

∴sin∠AEF=，

∴AF=AEsin∠AEF=10×，

∵AF∥OD，

∴，即DG=AD，

∵AD=，

則DG=×=．