Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）如果⊙O的半徑為5，cos∠DAB=，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）連接OD，AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論；

（2）由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD平分BC，即DB=DC，

∵OA=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴EF是⊙O的切線；

（2）

在Rt△ADB中，cos∠DAB=，而AB=10，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，，

∴AE=，

∵OD∥AE，

∴△FDO∽△FEA，

∴，即，

∴