Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：

如圖1，已知點是正方形的兩條對角線的交點，以點為直角頂點的直角三角形的兩邊，分別過點，，且，，．

（1）的長度為________；

操作證明：

（2）如圖2，在（1）的條件下，將按如圖放置，若，分別與，相交于點，．請判斷和有怎樣的數量關系，并證明結論；

探究發現：

（3）如圖3，在（1）的條件下，將按如圖放置，若點恰好在上，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）由題意可得OC=OB，OC⊥OB，再根據勾股定理即可得到答案；

（2）連接，，證明，即可得出答案；

（3）根據題意可推出為等邊三角形，可得，，再根據，可得，從而可推出，，即可得證．

解：（1）∵點是正方形的兩條對角線的交點，以點為直角頂點的直角三角形的兩邊，分別過點，C，

∴OC=OB，OC⊥OB，

∵BC=2，

∴OC2=BC2-OB2，

2OC2=BC2，

2OC2=4，

即OC=；

（2）；

證明：如圖，連接，，

∵點是正方形的兩條對角線的交點，

∴，，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴；

（3）連接，，

∵，，

∴，

∵在中，，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．