Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D，E兩點分別是AC，CB上的點，且CD＝6，DE∥AB，將△CDE繞點C順時針旋轉一周，記旋轉角為α．

（1）問題發現

①當α＝0°時，＝　 　；

②當α＝90°時，＝　 　．

（2）拓展探究

請你猜想當△CDE在旋轉的過程中，是否發生變化？根據圖2證明你的猜想．

（3）問題解決

在將△CDE繞點C順時針旋轉一周的過程中，當AD＝2時，BE＝　 　，此時α＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）①;②;（2）猜想：的值不變,理由見解析;（3），60°或300°．

【解析】

（1）①利用勾股定理求出BC，再利用平行線分線段成比例定理求出EC即可解決問題．

②正確畫出圖形，求出AD，BE即可解決問題．

（2）猜想：的值不變．利用相似三角形的性質即可解決問題．

（3）分兩種情形：當AD在AC阿德右側，當AD在AC的左側，分別求解即可．

解：（1）①如圖1中，當α＝0時，

在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，

∴BC＝＝6，

∵DE∥AB，

∴＝，

∴＝，

∴CE＝，

∵DE∥AB，

∴＝，

∴＝＝＝．

②如圖1﹣1中，當α＝90°時，易知AD＝AB＝10，BE＝＝＝．

∴＝＝．

故答案為，．

（2）猜想：的值不變．

理由：如圖2中，

∵旋轉過程中，△DCE∽△ACB，

∴∠ACB＝∠DCE，＝，

∴＝，∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD∽△BCE，

∴＝＝．

（3）如圖3﹣1中，作DH⊥AC于H．設CH＝x．

∵DH2＝AD2﹣AH2＝CD2﹣CH2，

∴52﹣（8﹣x）2＝62﹣x2，

解得x＝6，

∴cos∠HCD＝＝，

∴∠ACD＝60°，

∵＝，AD＝2，

∴BE＝，此時α＝60°．

如圖3﹣2中，同法可得：∠DCH＝60°，BE＝，此時α＝300°．

故答案為：，60°或300°．