Question

【題目】如圖，菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點B在x軸的正半軸上，OA邊在直線y=x上，AB邊在直線y=-x+2上．

（1）直接寫出：線段OA等于多少，∠AOC等于多少度；

（2）在對角線OB上有一動點P，以O為圓心，OP為半徑畫弧MN，分別交菱形的邊OA、OC于點M、N，作⊙Q與邊AB、BC、弧MN都相切，⊙Q分別與邊AB、BC相切于點D、E，設⊙Q的半徑為r，OP的長為y，求y與r之間的函數關系式，并寫出自變量r的取值范圍；

（3）若以O為圓心、OA長為半徑作扇形OAC，請問在菱形OABC中，在除去扇形OAC后的剩余部分內，是否可以截下一個圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個圓錐，若可以，求出這個圓的半徑，若不可以，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AO=2，∠AOC=60°；（2）y=2-3r，其中；（3）可以，能截下一個圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個圓錐．理由見解析.

【解析】

（1）令y=-x+2=0，則x=2，即：OB=2，AO==2，即可求解；

（2）OABC是菱形，故：點Q在OB上，在Rt△QDB中，∠QBD=30°，則：QB=2QD=2r，即y+3r=2，y=2-3r，其中；

（3）可以．理由：弧AC的長為，設截下的⊙G符合條件，其半徑為R，則2πR=，則R=，即可求解．

（1）令y=-x+2=0，則x=2，即：OB=2，

由直線y=x和AB直線y=-x+2的表達式知，∠AOB=∠ABO=30°，

AO==2，

∠AOC=2∠AOB=60°，

故：答案為2，60°；

（2）連結QD、QE，則QD⊥AB，QE⊥BC，

由（1）知：O（0，0），A（，1），B（2，0），C（，-1），

∵QD=QE，∴點Q在∠ABC的平分線上，

又∵OABC是菱形，∴點Q在OB上．

∴⊙Q與弧MN相切于點P，

在Rt△QDB中，∠QBD=30°，

∴QB=2QD=2r，

∴y+3r=2，

y=2-3r，

其中.

（3）可以，

理由：弧AC的長為．

設截下的⊙G符合條件，其半徑為R，

則2πR=，

∴R=，

由（2）知，此時OA=y=2，

則⊙Q的半徑r=，

∴能截下一個圓，使得它與扇形OAC剛好圍成一個圓錐．