Question

【題目】將矩形如圖放置在平面直角坐標系中，為邊上的一個動點，過點作交邊于點，且，的長是方程的兩個實數根，且．

（1）設，，求與的函數關系(不求的取值范圍)；

（2）當為的中點時，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，平面內是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在．，，．

【解析】

（1）利用因式分解法解出一元二次方程，得到OA、OB的長，證明△AOE∽△ECD，根據相似三角形的性質列出比例式，整理得到y與x的函數關系；

（2）列方程求出OE，利用待定系數法求出直線AE的解析式；

（3）根據平行四邊形的性質、坐標與圖形性質解答．

（1），

，

∴解得，．

∵，

∴，．

∵，

∴∠AEO＋∠DEC＝90，

又∵∠AEO＋∠OAE＝90，

∴∠OAE＝∠CED，又∠AOE＝∠ECD＝90，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）當為的中點時，．

∵，

∴．

解得，．

當時，設直線的解析式為，把A（0，8），E（4，0）代入

得

解得，

∴；

當時，設直線的解析式為，把A（0，8），E（8，0）代入

得

解得，

∴直線的解析式為或．

（3）當點F在線段OA上時，FA＝BD＝4，

∴OF＝4，即點F的坐標為（0，4），

當點F在線段OA的延長線上時，FA＝BD＝4，

∴OF＝12，即點F的坐標為（0，12），

當點F在線段BC右側、AB∥DF時，DF＝AB＝12，

∴點F的坐標為（24，4），

綜上所述，以A，D，B，F為頂點的四邊形為平行四邊形時，點F的坐標為（0，4）或（0，12）或（24，4）．