Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD＝60°

(1) 如圖1，點E為線段AB的中點，連接DE、CE．若AB＝4，求線段EC的長

(2) 如圖2，M為線段AC上一點（不與A、C重合），以AM為邊向上構造等邊三角形AMN，線段MN與AD交于點G，連接NC、DM，Q為線段NC的中點，連接DQ、MQ，判斷DM與DQ的數量關系，并證明你的結論

(3) 在(2)的條件下，若AC＝，請你直接寫出DM＋CN的最小值

Answer 1

【答案】（1）EC=2；（2）證明見解析；（3）2

【解析】

（1）如圖1，連接對角線BD，先證明△ABD是等邊三角形，根據E是AB的中點，由等腰三角形三線合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的長；

（2）如圖2，作輔助線，構建全等三角形，先證明△ADH是等邊三角形，再由△AMN是等邊三角形，得條件證明△ANH≌△AMD（SAS），則HN=DM，根據DQ是△CHN的中位線，得HN=2DQ，由等量代換可得結論．

（3）先判斷出點N在CD的延長線上時，CN+DM最小，最小為CH，再判斷出∠ACD=30°，即可用三角函數求出結論．

(1)如圖1,連接BD,則BD平分∠ABC,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AD∥BC,

∴∠A+∠ABC=180,

∵∠A=60,

∴∠ABC=120,

∴ABD是等邊三角形,

∴BD=AD=4，

∵E是AB的中點,

由勾股定理得:DE=2,

∵DC∥AB,

∴∠EDC=∠DEA=90,

在RtDEC中,

EC=2

(2)如圖2,延長CD至H,使CD=DH,連接NH、AH,

∵AD=CD,

∴AD=DH,

∵CD∥AB,

∴∠HDA=∠BAD=60,

∴ADH是等邊三角形,

∴AH=AD, ∠HAD=60,

∵AMN是等邊三角形,

∴AM=AN, ∠NAM=60,

∴∠HAN=∠DAM,

∴ANH≌AMD,

∴HN=DM,

∵D是CH的中點,Q是NC的中點,

∴DQ是CHN的中位線,

∴HN=2DQ,

∴DM=2DQ

(3) 如圖2，由（2）知，HN=DM，

∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，

即：點C，H，N在同一條線上時，CN+DM最小，

此時，點D和點Q重合，

即：CN+DM的最小值為CH，

如圖3，

由（2）知，△ADH是等邊三角形，

∴∠H=60°．

∵AC是菱形ABCD的對角線，

∴∠ACD=∠BCD=∠BAD=30°，

∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ACH中，CH==2，

∴DM+CN的最小值為2．