Question

【題目】綜合與實踐 問題情境：

綜合與實踐課上，同學們以“三角形紙片的折疊與旋轉“為主題展開數學活動，探究有關的數學問題．

動手操作：

已知：三角形紙片中，.將三角形紙片按如下步驟進行操作：

第一步：如圖1，折疊三角形紙片，使點與點重合，然后展開鋪平，折痕分別交于點，連接，易知．

第二步：在圖1的基礎上，將三角形紙片沿剪開，得到和.保持的位置不變，將繞點逆時針旋轉得到(點分別是的對應點)，旋轉角為問題解決：

（1）如圖2，小彬畫出了旋轉角時的圖形，設線段交于點，連接.小彬發現所在直線始終垂直平分線段.請證明這一結論；

（2）如圖3，小穎畫出了旋轉角時的圖形，設直線與直線相交于點，連接判斷此時的形狀，說明理由；

（3）在繞點逆時針旋轉過程中，當時，請直接寫出兩點間的距離．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）△COF為等邊三角形，證明見詳解；（3）或．

【解析】

（1）根據旋轉得△ADC≌△FDG，可得對應邊對應角分別相等，從而轉化證△FDM≌△CDN，進一步的得MD=ND，再證得AM=GN后，由此可證△APM≌△GPN，最后利用垂直平分線的判定即可；

（2）由第（1）問中的結論結合90°角可以計算得到∠OFC=∠OCF=60°，從而得證；

（3）首先要畫出符合題意的圖形，再借助勾股定理利用題目給的已知條件計算即可．

（1）證明：∵將繞點逆時針旋轉得到

∴△ADC≌△FDG

∴AD=FD, DG=DC, ∠DAC=∠DFG，∠C=∠DGF，∠ADC=∠FDG，

∵AD=DC

∴∠DAC=∠C，DA=DF=DC=DG，

∴∠DAC=∠DFG=∠C=∠DGF，

∵∠ADC=∠FDG，

∴∠FDM=∠CDN，

在△FDM與△CDN中

∴△FDM≌△CDN(ASA)

∴MD=ND,

∴MA=NG,

在△APM與△GPN中

∴△APM≌△GPN (AAS)

∴PA=PG

又∵DA=DG

∴DP垂直平分AG．

（2）解：△COF為等邊三角形．

理由如下：∵旋轉角

∴∠FDA=∠GDC=90°

又∵DF=DA,DG=DC

∴∠DFA=∠DAF=∠DGC=∠DCG=45°

∵

∴∠B=∠DCA=30°

∵AD=DC

∴∠DAC=∠DCA=30°

∴∠ADC=120°

∴∠FDC=360°-∠ADC-∠ADF=360°-120°-90°=150°

∵DF=DC

∴∠DFC=∠DCF=15°

∴∠OFC=∠DFC+∠DFA=45°+15°=60°

∠OCF=∠DCG+∠DCF=45°+15°=60°

∴∠OFC=∠OCF

∴OC=OF

又∵∠OCF=60°

∴△COF為等邊三角形

（3）解：如圖1，∵∠BAC=120°，∠DAC=30°

∴∠BAD=90°，

又∵∠ABC=30°，

∴AD=BD，

∴CD=BD，

∵BC=6，

∴CD=AD=2，BD=4

∴FD=AD=2，

∵，∠AFD=30°，

∴OD=FD=1，OF=,

∴BO=BD-OD=4-1=3,

∴在Rt△BOF中，BF=

如圖2，BO=BD+OD=4+1=5,

∴在Rt△BOF中，BF=

∴兩點間的距離為或．