Question

【題目】如圖，⊙O的直徑為10，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，已知BC：CA=4：3，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點．

（1）求證：ACCD=PCBC；

（2）當點P運動到AB弧中點時，求CD的長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CD⊥CP，

∴∠PCD=90°，

∴∠ACB=∠PCD，

∵∠A與∠P是對的圓周角，

∴∠A=∠P，

∴△ABC∽△PDC，

∴，

∴ACCD=PCBC；

（2）解：當點P運動到的中點時，過點B作BE⊥PC于E，

∵BC：CA=4：3，AB=10，

∴BC=8，AC=6，

∵點P是的中點，

∴∠PCB=∠ACB=45°，

∴BE=CE=BCsin45°=8×=4，

在Rt△EPB中，tan∠P=tan∠A===，

∴PE=BE=3，

∴PC=PE+CE=7，

∴CD=PCtan∠P=×7=．