Question

【題目】已知二次函數y＝ax2＋bx＋c（c≠4a），其圖象L經過點A（－2，0）.

（1）求證：b2－4ac＞0；

（2）若點B（－，b＋3）在圖象L上，求b的值；

（3）在（2）的條件下，若圖象L的對稱軸為直線x＝3，且經過點C（6，－8），點D（0，n）在y軸負半軸上，直線BD與OC相交于點E，當△ODE為等腰三角形時，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）－3；（3）或

【解析】試題分析：（1）將點A坐標代入函數解析式中，得b＝2a＋ c，再代入b2－4ac中得，b2－4ac＝(2a－c)2，由c≠4a得2a－c≠0，所以(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0． （2）將點B的坐標代入函數解析式中得： ，由4a－2b＋c＝0，所以b＋3＝0，解得b＝－3；（3）由題意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．所以圖象L的解析式為y＝x2－3x－8． 設OC與對稱軸交于點Q，圖象L與y軸相交于點P，則Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．分兩種情況：①當OD=OE時，②當EO=ED時，討論求值即可；

試題解析：

（1）證明：

由題意，得4a－2b＋c＝0，

∴b＝2a＋c．

∴b2－4ac＝(2a＋c)2－4ac＝(2a－c)2．

∵c≠4a，

∴2a－c≠0，

∴(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0．

（2）解：∵點B（－，b＋3）在圖象L上，

∴，整理，得．

∵4a－2b＋c＝0，

∴b＋3＝0，解得b＝－3．

（3）解：由題意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．

∴圖象L的解析式為y＝x2－3x－8．

設OC與對稱軸交于點Q，圖象L與y軸相交于點P，

則Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．

分兩種情況：

①當OD=OE時，如圖1，

過點Q作直線MQ∥DB，交y軸于點M，交x軸于點H，

則，

∴OM=OQ=5.

∴點M的坐標為（0，－5）.

設直線MQ的解析式為.

∴，解得.

∴MQ的解析式為.易得點H（15，0）.

又∵MH∥DB， .

即，

∴.

②當EO=ED時，如圖2，

∵OQ=PQ，

∴1=2，又EO=ED，

∴1=3.

∴2=3，

∴PQ∥DB.

設直線PQ交于點N，其函數表達式為

∴，解得.

∴PQ的解析式為.

∴點N的坐標為（6，0）.

∵PN∥DB，

∴，

∴，解得.

綜上所述，當△ODE是等腰三角形時，n的值為或.