Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，過點D作AC的平行線交AB于點O，DE⊥AD交AB于點E.

(1)求證：點O是AE的中點；

(2)若點F是AC邊上一點，且OF=OA，連接EF，如圖2，判斷EF與AC的位置關系，并說明理由；

(3)在（2）的條件下，試探究線段AE、AF、AC之間滿足的等量關系，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF⊥AC，理由見解析；（3）AE+AF=2AC，理由見解析．

【解析】

（1）根據直角三角形、角平分線和平行線的性質證明∠ODA=∠OAD，∠OED=∠ODE，進而得出OD=OA，OD=OE即可解決問題；
（2）結論：EF⊥AC．先證明OF=OE=OA，再根據等腰三角形的性質以及三角形內角和是180°即可解決問題；
（3）結論：AE+AF=2AC．延長ED交AC的延長線于M．證明AE=AM，CM=CF即可解決問題．

證明：如圖1中，

∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴∠ODA=∠OAD，
∴OD=OA，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠EDO+∠ADO=90°，∠DEO+∠OAD=90°，
∴∠OED=∠ODE，
∴OD=OE，
∴OE=OA，
∴點O是AE的中點；
（2）解：結論：EF⊥AC．
理由：如圖2中，

∵OF=OA，OA=OE，

∴OF=OE，∠OFA=∠OAF，

∴∠OEF=∠OFE，

∵∠OEF+∠OFE+∠OFA+∠OAF=180°，

∴∠OFE+∠OFA=90°，即∠EFA=90°，
∴EF⊥AC；
（3）解：如圖3中，結論：AE+AF=2AC．

理由：延長ED交AC的延長線于M．
∵AD⊥EM，
∴∠ADM=∠ADE=90°，
∴∠M+∠DAM=90°，∠AED+∠DAE=90°，
∵∠DAM=∠DAE，
∴∠M=∠AED，
∴AE=AM，
∴DM=DE，
∵∠DCA=∠EFA=90°，
∴DC∥EF，
∵DM=DE，
∴CM=CF，
∵AE-AF=AM-AF=FM=2CF，AC-AF=CF，
∴AE-AF=2（AC-AF），
∴AE+AF=2AC．