Question

【題目】如圖，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)在邊上，，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，有下列結(jié)論：

①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長(zhǎng)的最小值為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）

A.①④B.②④C.①③D.②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①通過(guò)分析圖形，由線段在邊上運(yùn)動(dòng)，可得出，即可判斷出與不可能相等；

②假設(shè)與相似，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)得出的值，再與的取值范圍進(jìn)行比較，即可判斷相似是否成立；

③過(guò)P作PE⊥BC于E，過(guò)F作DF⊥AB于F，利用函數(shù)求四邊形面積的最大值，設(shè)，可表示出，，可用函數(shù)表示出，，再根據(jù)，依據(jù)，即可得到四邊形面積的最大值；

④作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點(diǎn)P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時(shí)四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．

解：①∵線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，

∴,

∴與不可能相等，

則①錯(cuò)誤；

②設(shè)，

∵，，

∴，即，

假設(shè)與相似，

∵∠A=∠B=60°，

∴，即，

從而得到，解得或（經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根），

又，

∴解得的或符合題意，

即與可能相似，

則②正確；

③如圖，過(guò)P作PE⊥BC于E，過(guò)D作DF⊥AB于F，

設(shè)，

由，，得，即，

∴，

∵∠B=60°，

∴，

∵，∠A =60°，

∴,

則，

，

∴四邊形面積為：,

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大，最大值為：，

即四邊形面積最大值為，

則③正確；

④如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點(diǎn)P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，

此時(shí)四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，其值最小，

∴D1Q′=DQ′=D2 P′，，

且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，

∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，

在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，

∴，

在Rt△AD2C中，

由勾股定理可得，，

∴四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：

，

則④錯(cuò)誤，

所以可得②③正確，

故選：D．