Question

【題目】如圖，將沿弦折疊，使折疊后的劣弧恰好經過圓心O，連接并延長交于點C，點P是優弧上的動點，連接.

（1）如圖，用尺規面出折疊后的劣弧所在圓的圓心，并求出的度數；

（2）如圖，若是的切線，，求線段的長；

（3）如圖，連接，過點B作的重線，交的延長線于點D，求證：.

Answer 1

【答案】（1）圖見解析，=60°；（2）AP=4；（3）見解析.

【解析】

分別作AO，AB的垂直平分線，其交點即為劣弧所在圓的圓心，由作圖的過程可知AO，OB，，，分別為， 的半徑，可證△AO與△BO均為等邊三角形，點在上，則可求出，根據圓周角定理可求出的度數；
連接，證明為的直徑，則，在 中利用勾股定理可求出AP的長；
延長AP至M，使，連接CM，證明∽，可證明，進一步可證明．

解：如圖1，分別作AO，AB的垂直平分線，其交點即為劣弧所在圓的圓心，

連接A，B，OB，
，OB，，，分別為，的半徑，
∴AO=BO===，
∴△AO與△BO均為等邊三角形，點在上，
∴，，

∴∠AOB=∠AO+∠BO=120°，
；

如圖2，連接，

是的切線，
∴AP⊥，
∴，
∴為圓O的直徑，
，
∴，
在 中，
；

如圖3，延長AP至M，使，連接CM，

為的直徑，
，
在中，
，
，
，，
，
由知，，
，
，
即，
，
∽，
，
，
，，
．