Question

【題目】幾何探究題

(1)發現：在平面內，若BC＝a，AC＝b，其中a＞b．

當點A在線段BC上時(如圖1)，線段AB的長取得最小值，最小值為　 　；

當點A在線段BC延長線上時(如圖2)，線段AB的長取得最大值，最大值為　 　．

(2)應用：點A為線段BC外一動點，如圖3，分別以AB、AC為邊，作等邊△ABD和等邊△ACE，連接CD、BE．

①證明：CD＝BE；

②若BC＝3，AC＝1，則線段CD長度的最大值為　 　．

(3)拓展：如圖4，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，點P為線AB外一動點，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)a﹣b； a+b；(2)①證明見解析；②4；(3)滿足條件的點P坐標(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+3．

【解析】

（1）根據點A位于線段BC上時，線段AB的長取得最小值，根據點A位于BC的延長線上時，線段AB的長取得最大值，即可得到結論；

（2）①根據等邊三角形的性質得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD＝BE；

②由于線段CD長的最大值＝線段BE的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果；

（3）將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得到PN＝PA＝2，BN＝AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2+3；如圖2，過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

(1)∵當點A在線段BC上時，線段AB的長取得最小值，最小值為BC﹣AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC﹣AC＝a﹣b，

當點A在線段BC延長線上時，線段AB的長取得最大值，最大值為BC+AC，∵BC＝a，AC＝b，∴BC+AC＝a+b，

故答案為：a﹣b，a+b；

(2)①∵△ABD和△ACE是等邊三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠DAC＝∠BAE，

在△ACD和△AEB中，，

∴△ACD≌△AEB(SAS)，

∴CD＝BE；

②∵線段CD的最大值＝線段BE長的最大值，

由(1)知，當線段BE的長取得最大值時，點E在BC的延長線上，

∴最大值為BC+CE＝BC+AC＝4，

故答案為：4；

(3)∵將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM，

∵A的坐標為(2，0)，點B的坐標為(5，0)，

∴OA＝2，OB＝5，

∴AB＝3，

∴線段AM長的最大值＝線段BN長的最大值，

∴當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，

最大值＝AB+AN，

∵AN＝AP＝2，

∴最大值為2+3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，連接BE，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，

∴P(2﹣，)．

如圖3中，根據對稱性可知，當點P在第四象限時，P(2﹣，﹣)時，也滿足條件．

綜上述，滿足條件的點P坐標(2﹣，)或(2﹣，﹣)，AM的最大值為2+3．