Question

【題目】（定義）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖1，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，CD平分∠ACB．求證：CD為△ABC的完美分割線；

（2）在△ABC中，CD是△ABC的完美分割線，其中△ACD為等腰三角形，設∠A＝x°，∠B＝y°，則y與x之間的關系式為_____________________________；

（3）如圖2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3x＋y＝180或3x＋2y＝180；（3）CD=

【解析】

（1）據完美分割線①△ABC不是等腰三角形，②△ACD等三角形，③△BDC∽△BCA即可

（2）分三種情形討論即可①如圖2，當AD=CD時，②如圖3中，當AD=AC時，③如圖4中，當AC=CD時，分別求出x,y的關系即可.

（3）由題意可知，AC=AD=2；然后運用相似三角形的性質和判定以及勾股定理求解即可.

(1)證明：∵ ∠A＝40°，∠B＝60°

∴∠ACB＝80°

∴△ABC不是等腰三角形

∵CD平分∠ACB

∴∠ACD＝∠DCB＝40°

∴△ACD是等腰三角形

∵∠A＝∠DCB＝40° ∠B＝∠B

∴ △BCD∽△BAC

∴CD為△ABC的完美分割線

（2）①當AD=CD時，如圖

∴∠ACD=∠A=x

∴∠CDA=∠ACD+∠A=2x

又∵△BCD∽△BAC

∴∠DCB=∠A=x

∴x+2x+y=180°，即3x＋y＝180

②當AD=AC時，如圖

∴

又∵△BCD∽△BAC

∴∠DCB=∠A=x

∴x+y=，即3x+2y=180°

③當AD=AC時，如圖

,矛盾，舍棄.

故y與x之間的關系式為3x＋y＝180或3x＋2y＝180

（3）由題意得AC=AD=2

∵△BCD∽△BAC

∴＝ 設BD=x

則x（x+2）=（ ）2

解得x1＝1 x2＝－3(舍去)

∴ BD=1

∵△BCD∽△BAC

∴＝ 即＝

∴CD=