Question

【題目】如圖，在在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若動點P從A點出發，以每秒2cm的速度沿線段AD向點D運動；動點Q從C點出發以每秒3cm的速度沿CB向B點運動，當P點到達D點時，動點P、Q同時停止運動，設點P、Q同時出發，并運動了t秒，回答下列問題：

（1）BC＝　 　cm；

（2）當t＝　 　秒時，四邊形PQBA成為矩形．

（3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）；（3）存在t，使得△DQC是等腰三角形，此時t的值為秒或4秒或秒．

【解析】

（1）作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的長，根據勾股定理可以計算EC的長度，根據BC＝BE+EC即可求出BC的長度；

（2）當PA＝BQ時，四邊形PQBA為矩形，根據PA＝QB列出關于t的方程，解方程即可；

（3）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應考慮三種情況．結合路程＝速度×時間求得其中的有關的邊，運用等腰三角形的性質和解直角三角形的知識求解．

解：根據題意得：PA＝2t，CQ＝3t，則PD＝AD﹣PA＝12﹣2t，

（1）如圖，過D點作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，DE＝AB＝8cm，AD＝BE＝12cm，

在直角△CDE中，∵∠CED＝90°，DC＝10cm，DE＝8cm，

∴EC＝＝6cm，

∴BC＝BE+EC＝18cm．

故答案為18；

（2）∵AD∥BC，∠B＝90°

∴當PA＝BQ時，四邊形PQBA為矩形，

即2t＝18﹣3t，

解得t＝秒，

故當t＝秒時四邊形PQBA為矩形；

故答案為

（3）△DQC是等腰三角形時，分三種情況討論：

①當QC＝DC時，即3t＝10，

∴t＝；

②當DQ＝DC時，＝6，

∴t＝4；

③當QD＝QC時，3t＝5，

∴t＝．

故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此時t的值為秒或4秒或秒．